Patrones anuales

Si hay un patrón candidato a todos los premios es el que descubrió el matemático John Conway (aquel de "El juego de la vida") acerca de los días de la semana. Aprovechando esa regularidad diseñó un algoritmo que permite saber rápidamente qué día de la semana corresponde a una fecha dada. En inglés se lo llama "Doomsday Rule", que algunos castellanizaron como "el algoritmo del día del fin del mundo".

Según parece, la inspiración le llegó luego de leer un texto escrito en 1887 por Charles Dodgson (más conocido como Lewis Carroll, pero aún más conocido como el autor de "Alicia en el país de las maravillas") que trataba sobre los calendarios perpetuos. A Conway le llamó la atención el hecho, regularísimo, de que ciertas fechas fácilmente recordables cayeran en el mismo día de la semana durante un mismo año. Ellas son:

4 de abril (4/4)

6 de junio (6/6)

8 de agosto (8/8)

10 de octubre (10/10)

12 de diciembre (12/12)

 el último día de febrero (28 ó 29 según el año)

y las parejas 9/5 y 5/9

y 7/11 y 11/7.

Como si no fuera suficiente tener un día de referencia en 10 de los 12 meses (faltan enero y marzo) para facilitar el cálculo mental, también descubrió que hay un día "marcador" para todo el siglo (martes, para el siglo XXI), a partir del cual se calcula el doomsday de cada año, y luego el día de la fecha en cuestión. Si bien es necesario hacer algunas cuentas para llegar a este dato, nos permite tener absoluta independencia de un calendario o almanaque. Es por eso que el mismo Conway diseñó un procedimiento para llegar al resultado correcto, basándose en una mano: el método corto.

Parece que todo el algoritmo es bastante eficiente, y Conway lo demostraba indicando el día de la semana de cualquier fecha, en sólo 2 segundos.

Y si de patrones se trata, cada 400 años los días de semana y las fechas se corresponden exactamente. Sólo se trata de tener un poco de paciencia.

Gracias Ceci por el dato!

Patrones de diseño

La conocida sucesión de Fibonacci comienza con dos términos iguales, 1, y genera cada nuevo término a partir de la suma de los dos anteriores. Así continúa con1+1=2, 1+2=3, 2+3=5... dando la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Si con esos valores se construyen cuadrados y se los acomoda convenientemente se obtiene una figura muy armónica:

Dentro de estos cuadrados pueden construirse espirales, que serán también muy armónicas:

Su armonía no es casual, sino que viene dada por el cociente de dos términos consecutivos de esta sucesión. Si se consideran los dos primeros, 1:1, su valor es 1. Con los siguientes, 2:1, aumenta a 2. Luego será 3:2, que disminuye hasta 1,5. Más adelante se tiene 5:3, que vuelve a aumentar, pero no tanto, sólo hasta 1,66... Y así, subiendo y bajando, esos cocientes van "encerrando" el valor de la razón aúrea, el número de oro, phi, conocido desde la antigüedad y explotado hoy en día en cuestiones de marketing, por la natural atracción que nos genera.
Por ejemplo, en reconocidos logos se encuentra escondida esta sucesión:

Así, su belleza reside en la geometría, las razones, el uso consciente que de ellas hace el diseñador, y la atracción inconsciente que causan en nosotros.
Los casos abundan. ¿Más términos con ejemplos?

Patrones circulares

Desde hace ya mucho tiempo se conoce la constante π (pi), que relaciona la longitud de la circunferencia con el radio de la misma.
En la Biblia se la usa como si valiera tres, para los egipcios antiguos era casi 3,16, en China se aproximaba como la raíz cuadrada de 10, el matemático indio Aryabhata calculó su valor en 3,1416 sin más decimales...
Pero fue en Grecia, una vez más, donde se dedicaron a estudiarla exhaustivamente. Arquímedes diseñó un método que lleva su nombre, y logró aproximar el valor, fijándolo entre 3,14084 y 3,14285.
Lo cierto es que hoy esa constante se usa en diversos ámbitos: cálculo de probabilidades, medición de ángulos, estudio de funciones trigonométricas, identidad de Euler, cuestiones físicas relativas a la gravedad y el movimiento, integrales en coordenadas polares, distribución normal, transformada de Fourier, integral de Cauchy, función zeta... Y como hay patrones por todas partes, algunos notaron que en muchas oportunidades no era π la protagonista de estas fórmulas, sino 2π.
Así fue como intentaron el uso de una única constante, cuyo valor sea 2π. En trigonometría es habitual decir que un giro completo, una vuelta, mide 2π radianes, si se mide en el sistema circular. En griego esa "vuelta" se dice thornos, comenzando con la t griega, llamada "tau": τ.

Todo esto supone, claro está, una nueva mirada, casi un cambio de paradigma, un cambio de modelo. Miles de años de costumbre, y muchos más miles de libros escritos. Muchos son los matemáticos que apoyan esta propuesta: Bob Palais la apoya desde su ensayo "π is wrong!" en el que exhibe varias fórmulas simplificadas, Michael Hartl se explaya en diferentes beneficios y algunas dificultades en su "Manifiesto Tau", y Kevin Houston se presenta como divulgador de esta revolución y promueve el Día Tau, convenientemente fijado para el 28 de Junio (6.28).
Sirva un ejemplo como muestra de todo lo que este cambio encierra: si se establece la equivalencia de un giro con un ángulo de 2π radianes, medio giro es π, y un cuarto de giro es π/2, nada novedoso para quien ya lo conoce. Pero, dicen los defensores de τ, ¿no es más claro y simple decir que un giro es τ, medio giro es τ/2, y un cuarto de giro es τ/4? Y hasta es más bello, si se quiere, y ya lo dijo G. H. Hardy, "La belleza es la prueba primera: no hay lugar permanente en el mundo para matemáticas antiestéticas".
Esta cuestión, como tantas otras que a ciencia se refieren, se definirá por su propio peso. Si el cambio resulta útil, cómodo y beneficioso, seguirá adelante. Si no, la comunidad científica le dará la espalda y será recordada como un intento más de hacer avanzar, paso a paso, el conocimiento humano.

EXTRA: Kevin Houston es también el autor de un fantástico cuadernillo titulado "10 maneras de pensar como un matemático", disponible en forma gratuita, en inglés (y acá en español)

Patrones de adivinación

Muchas cosas parecen casuales, o hasta misteriosas, simplemente porque no descubrimos el patrón que ocultan: esos juegos en los que se adivinan números, o símbolos, o hasta palabras, son ejemplo de ello.
Y si de juegos se trata, hay uno ya muy conocido, que apareció en Pensando en jugar y en tantos otros sitios: el genio de la web, Akinator. Este genio salido de una lámpara, tras hacer unas 20 preguntas, logra decir de quién se trata: lo mismo descubre una persona real, un personaje de ficción, un familiar, o hasta una mascota.
Elokence, la empresa francesa de ingeniería informática que lo desarrolló, lo usa como clara muestra de sus habilidades de programación y no da detalles acerca del detrás de escena.
Pero es tan alto el grado de aciertos, tan sorprendente su accionar, que muchos se han detenido a analizar esta cuestión. Según parece, y opinan los que saben, todo esto se basa en teorías estadísticas, que a partir de las respuestas dadas estiman la probabilidad de que se trate de una u otra celebridad. En particular, se trataría de un clasificador bayesiano ingenuo (bayesiano porque aplica el teorema de Bayes, referido a probabilidades condicionales, e ingenuo porque se asume la independencia de variables, lo que da un escenario más simple).

A partir del algoritmo utilizado, luego de cada pregunta Akinator asigna un valor de probabilidad a los diferentes personajes, siendo su respuesta final aquella que obtiene la probabilidad más alta. Por ejemplo, si se responde negativamente a "el personaje elegido es real?", bajará significativamente la probabilidad de todos aquellos que son de ficción, sin eliminarlos del todo, por lo que se puede hallar a la persona correcta a pesar de haber respondido erróneamente alguna pregunta. Pero hay respuestas menos terminantes, y si a "el personaje tiene hijos?" se responde "probablemente no", bajará levemente la probabilidad de unos, y subirá levemente la de otros.
Lo que constituye una fortaleza notable del juego es su capacidad de incorporar nuevos personajes, y aceptar correcciones, en una especie de proceso de aprendizaje. En ciertos casos puede hacer más de 20 preguntas, lo que le sirve, al mismo tiempo, para obtener información nueva y verificar y revalidar la que posee.
Al terminar la partida se puede ver qué respuestas esperaba obtener para el personaje en cuestión, y cuáles efectivamente obtuvo.
Para una explicación más detallada se puede consultar aquí.

Este tipo de aplicaciones recibe el nombre de sistema experto, y es estudiado por una rama de la inteligencia artificial. Actualmente se utilizan sistemas expertos para identificar correo no deseado, para detectar y reparar fallas en equipos electrónicos a través de preguntas al usuario, para realizar análisis financieros y estudiar oportunidades de inversión, y hasta para hacer el pronóstico del clima. Otro uso es la moderna técnica de minería de datos (data mining, en inglés) que extrae información hasta el momento desconocida de un conjunto de datos previamente almacenados y que se emplea, por ejemplo, para detectar hábitos de consumo (así es cómo se ofrecen ofertas personalizadas, o referidas a ciertos productos o días de la semana o medios de pago).

Sin lugar a dudas, y aunque haya patrones, Akinator es sorprendente.

Patrones de acuerdo

Siguiendo con la cuestión de los algoritmos, su fortaleza radica en, claro está, que funcionan bien. De nada serviría seguir un algoritmo, una serie de pasos, una receta, si no nos permite obtener lo que deseamos.
Y aunque existan múltiples algoritmos para un mismo objetivo, todos ellos deben ser compatibles en cuanto al resultado obtenido. Y ahí, una vez más, está su fortaleza: en permitir caminos más o menos largos, sencillos, confusos, generales o particulares, a gusto del usuario y adecuados a la situación.
Pero cuando un procedimiento se aplica erróneamente puede llevar a resultados equivocados. Y si la verificación, que tantas veces es nuestra única prueba de validez, también está mal aplicada, la persistencia de la equivocación estará garantizada.

Esto es lo que muestra Adrián Paenza, una vez más desde su programa "Alterados por Pi III", en este video:

Valga esta reflexión para la aplicación de todos los algoritmos que aplicamos habitualmente, desde vestirnos para salir de casa, hasta la Regla de Ruffini.

Acerca del video: según el mismo Paenza explica en el tomo 5 de su libro "Matemática... estás ahí?", esta situación aparece en la serie norteamericana "Ma and Pa Kettle" de los años 50, tal como muestra aquí:

Y buscando un poco más, pueden encontrarse versiones de Abbott y Costello en las que "28 dividido 7 es 13".

Patrones de acción

¿Cuántas veces damos los mismos pasos? ¿O recorremos el mismo camino? ¿O ejecutamos un mismo procedimiento... haciendo así un patrón con nuestros actos?
Y si volvemos a ellos es porque descubrimos que esos procesos repetidos nos llevan a buen puerto.
Y así generalizamos, y abstraemos, y concluimos trazando un algoritmo.
"Algoritmo", la palabra, viene del nombre de un matemático persa, Al-Juarismi, del que también derivan álgebra y guarismo. Y un algoritmo es, en pocas palabras, una lista ordenada y finita de pasos para resolver un problema.

Nuestra vida está llena de listas de pasos, de algoritmos! Por ejemplo, los pasos que seguimos para preparar café, o al programar la alarma del celular, o al buscar una palabra en el diccionario, o al cepillarnos los dientes. Los algoritmos nos evitan tener que pensar en cada momento cómo seguir adelante.
Tan cerca nuestro están los algoritmos que a veces no nos damos cuenta. Y automatizamos esas tareas al extremo de no poder describirlas con precisión. Con maestría y humor, eso fue lo que hizo Julio Cortázar en sus "Instrucciones para subir una escalera", en este fragmento de "Alterados por Pi III".

La ciencia en sus diversas ramas hecha mano a los algoritmos con frecuencia: la matemática, la computación, la química, la medicina tienen sus propias "instrucciones a seguir". El procedimiento seguido para multiplicar dos números de más de una cifra es un algoritmo, como lo es la Criba de Eratóstones para hallar números primos, o las búsquedas que hace Google, o los pasos para dar un diagnóstico que sigue un médico.

Ya sea para poder estacionar el auto, o para calcular los máximos de una función polinómica, los algoritmos resultan útiles patrones.

Un detalle no menor

A veces damos por sobreentendidas muchas cosas. Creemos que todos sabemos de qué hablamos. Nos parece que todos estamos al tanto. Suponemos que ahorramos enormes cantidades de tiempo de habla, de espacio de escritura. Y esa costumbre suele funcionar.
Así, al hablar de edades omitimos decir "años", porque suponemos que es la única manera de medirlas. Al hablar de precios, no decimos la moneda utilizada, porque suponemos que ambos interlocutores saben de antemano cuál es. Y a veces vamos más allá, diciendo los números de maneras más cómodas, pero menos claras: "dos cincuenta" puede indicar tanto 250 como su centésima parte: 2,50.
Y esto, que en la vida cotidiana no tiene mayores inconvenientes, puede ser grave cuando se trata de ámbitos que requieren de mayor precisión.

En septiembre de 1999 la sonda Mars Climate Orbiter, de la NASA, llegaba a Marte tras un viaje de casi 10 meses. Pero contra todo pronóstico y a pesar de los esfuerzos, no se mantuvo en órbita como se esperaba, sino que se estrelló contra el suelo del planeta rojo.

Inmediatamente comenzaron las investigaciones para descubrir fallas que debieran evitarse en el futuro. Tal como lo cuenta el informe oficial, emitido una semana más tarde, el error estuvo en los cálculos efectuados para realizar las maniobras de puesta en órbita. Pero llamarlo "error de cálculo" es pasar por alto el verdadero motivo....

Cómo suele pasar en estos grandes emprendimientos, muchas empresas toman parte en distintas fases del proyecto. Por ejemplo, Lockheed Martin Astronautics construyó la sonda en Denver, y Jet Propulsion Laboratory la programó en California. Lo que nadie notó a tiempo fue que ambos laboratorios trabajaban con distintas unidades: sistema anglosajón el primero, sistema internacional el segundo.
Como ninguno de ellos informó las unidades utilizadas, pies, millas y onzas se tomaron como metros, kilómetros y gramos. Y la diferencia no es poca: a grandes rasgos 1 metro equivale a 3 pies, 3 millas son 5 kilómetros, y 4 onzas son 100 gramos.
Así, la comodidad y la suposición tuvieron un costo de 125 millones de dólares.
Un trabajo de la Universidad Politécnica de Valencia abunda en detalles de esta misión.

ACTUALIZACIÓN 05/2014: la BBC publicó una nota con este y otros nueve errores más, debidos todas a mediciones erradas. Ver la nota completa.