A veces, aún cuando haya patrones claros y precisos, no logramos percibirlos. Otras veces, lo que percibimos es tan extraño que preferimos atribuirlo a errores de percepción, sin considerar que tal vez en esa sensación de incomodidad esté la clave del patrón, y lo que se pretende lograr.
El artista Maurits Cornelis Escher, más conocido por sus iniciales M.C. Escher, fue un verdadero genio en lo que a patrones poco habituales se refiere. Jugó con infinitos, con recursividades, con simetrías, con reflejos, con teselados del plano y el espacio, con figuras imposibles, dejándolo todo plasmado en su obra gráfica de gran belleza.
Algunas de esas obras ya pueden ser llamadas clásicas, y han pasado a formar parte de nuestra cultura, y han inspirado expresiones artística tan disímiles como la publicidad de un auto, o una película de fantasía (Laberinto, 1986, con David Bowie).
Muchas veces creemos que no hay más patrones por descubrir... Al aprender nuevos temas y técnicas de matemática nos decimos que eso nada tiene que ver con lo que ya conocemos, y sentimos que nunca podremos aprenderlo, ni aprehenderlo...
Pero en la mayoría de los casos se trata de nuestra propia imposibilidad de ver, de nuestra falta de sentido de búsqueda, o en nuestra poca capacidad de atender a distintas cuestiones.
Como en este video, dónde la consigna es contar los pases que realiza el equipo blanco:
Si ya viste el video sabrás de qué va la cosa, de aprender a mirar, y descubrir inclusive aquello que no estamos esperando, que es lo más interesante!
Recuperemos la sorpresa, y nunca dejemos de mirar atentamente, para que lo que ocurra delante de nuestros ojos no nos pase desapercibido... por rápido que sea...
ACTUALIZACIÓN: aquí hay otro aviso, de la misma campaña, con el mismo mensaje, y con más detalles para ver.
Tan es así esto de los patrones que andan por todos lados, que hasta hay patrones que nos hacen encontrar belleza... Nuestra mente los necesita, y así aprendemos a depender de ellos.
Que los números son fríos, que no dicen nada, que sólo sirven para obligarnos a hacer cuentas, que no los necesitamos... Cómo si fuera poco el usarlos para nuestros documentos, teléfonos, edades, fechas, cuentas de ahorro, y demás, los podemos encontran en, frías dirán algunos, descripciones de toda una vida.
Eso es lo que hizo Robert Winston en su programa "The Human Body" de 1998, por la BBC. El capítulo en cuestión es "Life Story", y dice acerca de una niña que acaba de nacer:
Comerá por cerca de 3 años y medio, consumiendo 7.300 huevos y 160 kg. de chocolate. Producirá 40.000 litros de orina que estarán 6 meses saliendo. Dejará salir 145 litros de saliva antes del primer cumpleaños. Gateará unos 150 km. antes de tener 2 años. Después ella aprenderá 1 nueva palabra cada 2 horas por los próximos 10 años.
Cuando tenga 10 su corazón habrá latido 378 millones de veces. Pasará más de 12 años en total viendo televisión, y 2 años y medio hablando por teléfono. Pasará 2 semanas besando.
Le crecerán 28 metros de uñas, y 950 km. de cabello en su cabeza y más de 2 metros en la nariz. Cuando cumpla 21 habrá exhalado el contenido de 3 millones y medio de globos. En su vida trabajará más de 8 años, y producirá 200 millones de glóbulos rojos cada 24 horas. Podrá recordar el nombre de 2.000 personas y 150 de ellas serán sus amigos.
Se despojará de 19 kg. de piel muerta. Tendrá sexo 2.580 veces con 5 hombres distintos. Se enamorará 2 veces. Parpadeará 415 millones de veces, y sus ojos serán capaces de distinguir más de 1 millón de colores. Si se casa habrá gastado 11650 dólares en el día de su boda, y con un 60% de posibilidades permanecerá casada con la misma persona por el resto de su vida.
Tendrá 2 hijos y 4 nietos. Y cuando hayan crecido, sólo 2 de sus 8 bisnietos recordarán cuál era su nombre. En Gran Bretaña su vida alcanzará los 79 años, en Francia 82, en Norteamérica 80 y en África sólo 55. En total habrá caminado más de 22.000 km. y habrá hablado por 12 años.
Esta es una lista increíble. De hecho, ninguna vida es una historia ordinaria.
A partir de los 3:40 minutos está este texto en el video original, en inglés:
Los números son, al fin y al cabo, parte de nosotros y de nuestras vidas. Bienvenidos.
Enfrascados en esto de buscar patrones, muchos matemáticos y científicos de otras ramas se propusieron hacerlo en ámbitos reales, llenos de incertidumbre y variables diferentes. Y comenzaron a probar distintos acercamientos, modelizaciones los llaman, ya que son formas más o menos precisas y ajustadas de modelar situaciones reales.
Y así encontraron la manera de representar el crecimiento de poblaciones, como ya vimos con los conejos, descubrieron cómo mejorar la respuesta del sistema inmune ante enfermedades como la leucemia, detectaron la belleza de obras de arte, e imaginaron tantas otras cosas que hoy usamos sin saber la matemática que encierran.
En 1970 el matemático John Conway diseñó tres simples reglas que pueden simular el desarrollo de células: nacen, sobreviven, se reproducen y mueren según la cantidad de vecinos que tienen, y eso porque depende de la disponibilidad de recursos. Lo que Conway hizo fue diseñar un patrón de comportamiento que aplicado una y otra vez genera la simulación de vida. Eso de repetir procedimientos se llama "iteración". Se crea así una suerte de campo de celulas que actúan por turnos como si estuvieran vivas. Hay que verlo para comprenderlo bien:
Además de ser entretenido, y muy llamativo, esto tiene muchas aplicaciones. Permite predecir el comportamiento de células reales, animales, vehículos en el tráfico de una ciudad, virus de computadores, enfermedades humanas, y hasta hay quien cree que puede llegar a usarse como conducta para exploradores autómatas en otros planetas. En la Universidad de Maine, por ejemplo, diseñaron Micromundos con termitas, abejas, tortugas y conejos que reproducen distintos comportamientos.
Para ver mucha más información (en inglés) acerca de "El juego de la vida" se puede visitar esta página. Y también se puede jugar!
Estos patrones andan por todos lados, y ya podemos descubrir algunos. Ya vimos que andan por la música, por las veredas y las calles, por las plantas, en las obras de arte, y hasta en algunos juegos. Y así tambien andan subidos a los animales.
Algo que durante mucho tiempo se creyó que era consecuencia de la genética parece deberse en realidad a dinámicas matemáticas: los diseños en el pelaje de los animales. ¿Por qué algunos son manchados y otros rayados? ¿Y otros lisos? ¿Y por qué algunos tiene manchas en el cuerpo y rayas en la cola, pero nunca al revés?
Según revelan los estudios se debe a la acción y distribución de dos proteínas, uno que estimula la creación de melanina (que colorea la piel) y el otro que la inhibe. Hay una ecuación que modeliza estas reacciones, y en la que sólo intervienen dos variables: el tamaño y la forma de la región considerada.
Eso no explica porque el tigre y el leopardo, tan similares en forma y tamaño, tienen distintos patrones. La razón es que esos diseños se generarían en distintos momentos de la gestación, en los que los respectivos embriones sí son de distintos tamaños. Siempre según estas ecuaciones, no se forma ningún patrón si el embrión es muy pequeño, se forman rayas si es algo más grande, si es aún mayor son manchas, y de nuevo nada si es muy grande. Eso explicaría porqué los ratones y los elefantes son lisos!
Y la forma hace también los suyo. Si una superficie es adecuada para tener lunares, pero tienen forma cilíndrica, se formarán rayas.
Estas ecuaciones tambien permiten explicar los diseños en las alas de las mariposas, peces tropicales, y caracolas marinas: Todavía no se pudo confirmar todo esto, pero hay ciertas evidencias indirectas que parecen avalarlo. Y aunque no deja de ser un modelo, y como tal una simplificación de la realidad, por lo ajustado que es en describirla, tal parece que debe ser, al menos, parcialmente cierto.
Para todo esto hay explicaciones muy técnicas, y otras más visuales.
Con información tan interesante como esta, pero mucho mejor presentada, ganó la canadiense Stéphane Durand el Primer Premio en el concurso de posters del Año Mundial de la Matemática. Los siete trabajos que presentó, y los que obtuvieron el segundo y tercer puesto pueden verse en esta página.
Cuentan que en la ciudad italiana de Pisa por el año 1200, vivía un tal Leonardo, que por ser de esa ciudad era conocido como Pisano, o simplemente "de Pisa", aunque el se hacía llamar Bigollo, que significa "bueno para nada". Como su padre se llamaba Bonacci, era costumbre decirle "hijo de Bonacci". Hijo, en italiano, se dice figlio, así que no pasó mucho tiempo para que se deformara su nombre en "Fibonacci".
Aunque pueda parecer por el nombre de esta entrada, no se dedicaba a la cría de conejos. Su padre era comerciante, y él tenía acceso a libros de matemática llegados de Arabia, que aunque hoy parezca extraño, eran bastante diferentes a los europeos: basicamente porque tenían el número cero...
Puesto a pensar en problemas reales, quiso saber cómo se desarrollaba el crecimiento de una población de conejos. Supuso que se comienza con una sóla pareja, que en cada camada tiene otra pareja y que las crías son fértiles al mes. El desarrollo de su pensamiento se ve en esta imagen:
Esos números que dicen cuántas parejas hay en cada mes forman una sucesión que se conoce como "sucesión de Fibonacci", y en la que cada término se forma sumando los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... y así siguiendo. A pesar de haber nacido de algo trivial, como pueden ser los conejos, se han descubierto muchas aplicaciones, en economía, arte, biología, botánica, arquitectura, música, teoría de juegos, y algunas más.
Por ejemplo, los espirales que forman las semillas del girasol hacia uno y otro lado, son números de Fibonacci sucesivos. Su cociente se acerca a la razón áurea, tan usada en el arte para obtener proporciones agradables. Y en toda canción, la melodía se basa en un conjunto de notas que llevan asociado un patrón. Y aunque existe muchos distintos algunos son tan buenos que pueden repertirse en muchas composiciones, como los relacionados con Fibonacci en el Canon de Pachelbel que se sigue usando en tantas canciones actuales (datos eliminados de Wikipedia en la edición actual).
Un patrón. Muchos usos. Y muchísimos conejos!
ACTUALIZACIÓN: En este vídeo se ve la ejecución del canón utilizando los instrumentos exactos para los que fue creado.
Cuántas veces nos habrá pasado que, sin siquiera pensar en ello, descubrimos un diseño que se repite: en una reja, en un papel tapiz, en una vereda. Descubrir esos patrones es hacer matemática.
Todavía no se pudo confirmar todo esto, pero hay ciertas evidencias indirectas que parecen avalarlo. Y aunque no deja de ser un modelo, y como tal una simplificación de la realidad, por lo ajustado que es en describirla, tal parece que debe ser, al menos, parcialmente cierto.
