sábado, 23 de agosto de 2008

Números vivos

Que los números son fríos, que no dicen nada, que sólo sirven para obligarnos a hacer cuentas, que no los necesitamos... Cómo si fuera poco el usarlos para nuestros documentos, teléfonos, edades, fechas, cuentas de ahorro, y demás, los podemos encontran en, frías dirán algunos, descripciones de toda una vida.
Eso es lo que hizo Robert Winston en su programa "The Human Body" de 1998, por la BBC. El capítulo en cuestión es "Life Story", y dice acerca de una niña que acaba de nacer:

Comerá por cerca de 3 años y medio, consumiendo 7.300 huevos y 160 kg. de chocolate. Producirá 40.000 litros de orina que estarán 6 meses saliendo. Dejará salir 145 litros de saliva antes del primer cumpleaños. Gateará unos 150 km. antes de tener 2 años. Después ella aprenderá 1 nueva palabra cada 2 horas por los próximos 10 años.
Cuando tenga 10 su corazón habrá latido 378 millones de veces. Pasará más de 12 años en total viendo televisión, y 2 años y medio hablando por teléfono. Pasará 2 semanas besando.
Le crecerán 28 metros de uñas, y 950 km. de cabello en su cabeza y más de 2 metros en la nariz. Cuando cumpla 21 habrá exhalado el contenido de 3 millones y medio de globos. En su vida trabajará más de 8 años, y producirá 200 millones de glóbulos rojos cada 24 horas. Podrá recordar el nombre de 2.000 personas y 150 de ellas serán sus amigos.
Se despojará de 19 kg. de piel muerta. Tendrá sexo 2.580 veces con 5 hombres distintos. Se enamorará 2 veces. Parpadeará 415 millones de veces, y sus ojos serán capaces de distinguir más de 1 millón de colores. Si se casa habrá gastado 11650 dólares en el día de su boda, y con un 60% de posibilidades permanecerá casada con la misma persona por el resto de su vida.
Tendrá 2 hijos y 4 nietos. Y cuando hayan crecido, sólo 2 de sus 8 bisnietos recordarán cuál era su nombre. En Gran Bretaña su vida alcanzará los 79 años, en Francia 82, en Norteamérica 80 y en África sólo 55. En total habrá caminado más de 22.000 km. y habrá hablado por 12 años.
Esta es una lista increíble. De hecho, ninguna vida es una historia ordinaria.
A partir de los 3:40 minutos está este texto en el video original, en inglés:



Los números son, al fin y al cabo, parte de nosotros y de nuestras vidas. Bienvenidos.

sábado, 16 de agosto de 2008

El juego de la vida

Enfrascados en esto de buscar patrones, muchos matemáticos y científicos de otras ramas se propusieron hacerlo en ámbitos reales, llenos de incertidumbre y variables diferentes. Y comenzaron a probar distintos acercamientos, modelizaciones los llaman, ya que son formas más o menos precisas y ajustadas de modelar situaciones reales.

Y así encontraron la manera de representar el crecimiento de poblaciones, como ya vimos con los conejos, descubrieron cómo mejorar la respuesta del sistema inmune ante enfermedades como la leucemia, detectaron la belleza de obras de arte, e imaginaron tantas otras cosas que hoy usamos sin saber la matemática que encierran.

En 1970 el matemático John Conway diseñó tres simples reglas que pueden simular el desarrollo de células: nacen, sobreviven, se reproducen y mueren según la cantidad de vecinos que tienen, y eso porque depende de la disponibilidad de recursos. Lo que Conway hizo fue diseñar un patrón de comportamiento que aplicado una y otra vez genera la simulación de vida. Eso de repetir procedimientos se llama "iteración". Se crea así una suerte de campo de celulas que actúan por turnos como si estuvieran vivas. Hay que verlo para comprenderlo bien:



Además de ser entretenido, y muy llamativo, esto tiene muchas aplicaciones. Permite predecir el comportamiento de células reales, animales, vehículos en el tráfico de una ciudad, virus de computadores, enfermedades humanas, y hasta hay quien cree que puede llegar a usarse como conducta para exploradores autómatas en otros planetas. En la Universidad de Maine, por ejemplo, diseñaron Micromundos con termitas, abejas, tortugas y conejos que reproducen distintos comportamientos.

Para ver mucha más información (en inglés) acerca de "El juego de la vida" se puede visitar esta página. Y también se puede jugar!

lunes, 11 de agosto de 2008

El patrón de la selva

Estos patrones andan por todos lados, y ya podemos descubrir algunos. Ya vimos que andan por la música, por las veredas y las calles, por las plantas, en las obras de arte, y hasta en algunos juegos. Y así tambien andan subidos a los animales.

Algo que durante mucho tiempo se creyó que era consecuencia de la genética parece deberse en realidad a dinámicas matemáticas: los diseños en el pelaje de los animales. ¿Por qué algunos son manchados y otros rayados? ¿Y otros lisos? ¿Y por qué algunos tiene manchas en el cuerpo y rayas en la cola, pero nunca al revés?

Según revelan los estudios se debe a la acción y distribución de dos proteínas, uno que estimula la creación de melanina (que colorea la piel) y el otro que la inhibe. Hay una ecuación que modeliza estas reacciones, y en la que sólo intervienen dos variables: el tamaño y la forma de la región considerada.

Eso no explica porque el tigre y el leopardo, tan similares en forma y tamaño, tienen distintos patrones. La razón es que esos diseños se generarían en distintos momentos de la gestación, en los que los respectivos embriones sí son de distintos tamaños. Siempre según estas ecuaciones, no se forma ningún patrón si el embrión es muy pequeño, se forman rayas si es algo más grande, si es aún mayor son manchas, y de nuevo nada si es muy grande. Eso explicaría porqué los ratones y los elefantes son lisos!

Y la forma hace también los suyo. Si una superficie es adecuada para tener lunares, pero tienen forma cilíndrica, se formarán rayas.

Estas ecuaciones tambien permiten explicar los diseños en las alas de las mariposas, peces tropicales, y caracolas marinas: Todavía no se pudo confirmar todo esto, pero hay ciertas evidencias indirectas que parecen avalarlo. Y aunque no deja de ser un modelo, y como tal una simplificación de la realidad, por lo ajustado que es en describirla, tal parece que debe ser, al menos, parcialmente cierto.

Para todo esto hay explicaciones muy técnicas, y otras más visuales.

Con información tan interesante como esta, pero mucho mejor presentada, ganó la canadiense Stéphane Durand el Primer Premio en el concurso de posters del Año Mundial de la Matemática. Los siete trabajos que presentó, y los que obtuvieron el segundo y tercer puesto pueden verse en esta página.

sábado, 9 de agosto de 2008

El patrón de los conejos

Cuentan que en la ciudad italiana de Pisa por el año 1200, vivía un tal Leonardo, que por ser de esa ciudad era conocido como Pisano, o simplemente "de Pisa", aunque el se hacía llamar Bigollo, que significa "bueno para nada". Como su padre se llamaba Bonacci, era costumbre decirle "hijo de Bonacci". Hijo, en italiano, se dice figlio, así que no pasó mucho tiempo para que se deformara su nombre en "Fibonacci".

Aunque pueda parecer por el nombre de esta entrada, no se dedicaba a la cría de conejos. Su padre era comerciante, y él tenía acceso a libros de matemática llegados de Arabia, que aunque hoy parezca extraño, eran bastante diferentes a los europeos: basicamente porque tenían el número cero...

Puesto a pensar en problemas reales, quiso saber cómo se desarrollaba el crecimiento de una población de conejos. Supuso que se comienza con una sóla pareja, que en cada camada tiene otra pareja y que las crías son fértiles al mes. El desarrollo de su pensamiento se ve en esta imagen:



Esos números que dicen cuántas parejas hay en cada mes forman una sucesión que se conoce como "sucesión de Fibonacci", y en la que cada término se forma sumando los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... y así siguiendo. A pesar de haber nacido de algo trivial, como pueden ser los conejos, se han descubierto muchas aplicaciones, en economía, arte, biología, botánica, arquitectura, música, teoría de juegos, y algunas más.
Por ejemplo, los espirales que forman las semillas del girasol hacia uno y otro lado, son números de Fibonacci sucesivos. Su cociente se acerca a la razón áurea, tan usada en el arte para obtener proporciones agradables. Y en toda canción, la melodía se basa en un conjunto de notas que llevan asociado un patrón. Y aunque existe muchos distintos algunos son tan buenos que pueden repertirse en muchas composiciones, como los relacionados con Fibonacci en el Canon de Pachelbel que se sigue usando en tantas canciones actuales (datos eliminados de Wikipedia en la edición actual).



Un patrón. Muchos usos. Y muchísimos conejos!



ACTUALIZACIÓN: En este vídeo se ve la ejecución del canón utilizando los instrumentos exactos para los que fue creado.

jueves, 7 de agosto de 2008

El año mundial de la Matemática

En mayo de 1992 la Unión Matemática Internacional reunida en Río de Janeiro declaró que el año 2000 sería el Año Mundial de la Matemática. Mucho fue el apoyo conseguido, y el mayor auspiciente fue la UNESCO.

Entre las muchas tareas que se realizaron, tanto de difusión y promoción como de investigación, debate y análisis, se incluyeron algunas dedicadas al gran público, a manera de divulgación. De varias de ellas quedaron registros, por ejemplo: estampillas (como la que se ve aquí, hecha para Argentina), posters, postales, intervenciones urbanas, como en el tranvía de Torino (Italia) o la iluminación de una cúpula con la serie de Fibonacci.

Justamente esta serie de Fibonacci es, cómo no, un patrón. Un patrón que resultó tan util que se lo bautizó con el nombre de su ¿inventor?

martes, 5 de agosto de 2008

Los patrones se divierten

Al fin y al cabo en la matemática, como en (casi) toda actividad humana, queda un espacio para la diversión. No ya para el placer, que es un componente ineludible, o para el disfrute, que no debería desaparecer nunca... sino para el juego, el entretenimiento y el ocio creativo.
Y con patrones podemos pensar en eso.

Valga esto como una excusa para aquellos que, por vacaciones de invierno u otros motivos, hayan dejado a los patrones un poco solos. Hagámosles compañía y busquemos quienes deben seguir en estas listas... y lo más importante, por qué... (Ya lo dijo Wittgenstein en otras palabras: una lista finita de términos puede continuarse con cualquier otro...):

a) 0 1 3 6 10 15
b) 1 1 2 3 5 8 13 21
c) u d t c c s s o
d) 2 10 12 16 17 18 19

Para las respuestas habrá que esperar unos días, para que todos podamos pensar en esto.

lunes, 4 de agosto de 2008

El patrón de la calle

De más está decir que no sólo las veredas tienen patrones. En las calles solemos ver regulares adoquinados, regulares postes de iluminación, regulares trazados urbanos, regulares pasos peatonales....
Y surge una pregunta: ¿por qué las tapas de alcantarillas son, generalmente, redondas? No es azar ni capricho, es matemática.
Cualquiera que haya intentado meter la tapa de una caja de zapatos dentro de la misma caja habrá notado que si se acomoda en diagonal y de canto entra sin problema. Pero no es posible hacer eso mismo con la tapa de un frasco. Por muchos intentos que se haga, no hay forma de hacerla entrar.
¡Las tapas de alcantarillas son redondas para evitar que caigan dentro! En un cuadrilátero hay lados menores que algunas diagonales, y la tapa podría caerse. Y eso ocurre también con otras figuras geométricas. Sin embargo, hay tapas cuadradas y rectangulares, que suelen usarse para cajas de inspección, de escasa profundidad, de las que sería facil volver a sacarlas si cayeran dentro.
Esto lo explica muy bien Fernando Corbalán, un profesor español que coordina el proyecto "Matemática Vital" para el Departamento de Educación del Gobierno de Aragón. Este proyecto quiere mostrar la presencia y la importancia de las matemáticas en la vida diaria (fuera del sistema escolar), destacar la actualidad de las matemáticas como una ciencia viva y cambiante, e introducir las matemáticas como una fuente de placer intelectual. Para eso aprovecha objetos y situaciones por todos conocidos, como bicicletas, toboganes, dados, y alcantarillas! También ha sacado infinidad de fotos de tapas de alcantarillas en cada ciudad que ha visitado, entre ellas Buenos Aires. Y aunque en Internet no hay rastros de ellas, si están estas maravillas japonesas, que merecen ser vistas:


domingo, 3 de agosto de 2008

Los patrones de la música

Los patrones nos rodean. Aunque a veces no resulta del todo facil darse cuenta, pero siempre andan por ahí.
Ese fue el gran descubrimiento de tantos matemáticos. El grigo Menaecmus advirtió que muchas curvas distintas (que hoy conocemos como circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas) tenían un origen común: las secciones o cortes de un cono. ¡Ahí había una regularidad! El francés Évariste Galois hizo algo parecido al determinar la condición necesaria y suficiente para hallar las raíces de un polinomio utilizando radicales. ¡Otro patrón!
Tal parece que hay patrones por todas partes. Cómo en la música, que también nos rodea aunque a veces no lo notemos.
Cuenta Douglas R. Hofstadter en su genial "Gödel Escher Bach" que en la "Ofrenda Musical" (BWV1079) de Bach hay una fuga a 6 voces, en la que se repite una misma melodía, con variaciones, inversiones, y otras modificaciones. ¡Más patrones! Se puede descargar y escuchar en esta página.
Desde hace ya algunos años la empresa española HitSongScience dice poder predecir si una canción será un éxito de ventas, basándose en el análisis y la comparación con una base de más de un millón de canciones, según armonía, tempo, ritmo, melodía y otras características. Si esto es cierto, habrán detectado nuevas regularidades.
Pero en 2006 la revista Science dió por tierra con este supuesto hallazgo, afirmando que los exitos de venta tienen un importante componente social y de "reacción en cadena": si le gusta a muchos, le gustará a muchos más.
Y eso no deja de ser otro patrón!

sábado, 2 de agosto de 2008

Primer término

Todo empieza en algún punto. Algunos más preciso dirán que eso no es necesariamente verdadero. Pero permítanme esa licencia, para simplificar.
Inclusive las cosas que se repiten inmutables tienen un comienzo. Y las que cambian cada vez, en cada uno de los sucesivos pasos. Son los términos de una sucesión. Y una sucesión comienza con un primer término.
Cómo este blog, que comienza hoy, con este primer término, y quien sabe hasta donde podrá llegar.
Pero sin duda su alcance estará condicionado por los términos que todos aportemos, y los comentarios, y las repreguntas.

¿Y de dónde viene esto de "Patrón de la vereda"? De los patrones que constantemente vemos en nuestra vida, y de otros que a veces se nos pasan por alto. Porque de eso se trata la matemática. Cómo dice Adrián Paenza en su libro "Matemática... estás ahí?":
"Hace tan sólo unos veinte años nació la propuesta de una definición de la matemática que tuvo –y todavía tiene– bastante consenso entre los matemáticos. “La matemática es la ciencia de los patterns” (o de los patrones).
En líneas muy generales, lo que hace un matemático es examinar patterns abstractos. Es decir, buscar peculiaridades, cosas que se repitan, patrones numéricos, de forma, de movimiento, de comportamiento, etcétera. Estos
patterns pueden ser tanto reales como imaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o no. Pueden emerger del mundo que nos rodea, de las profundidades del espacio y del tiempo o de los debates internos de la mente."
(Desde el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires es posible descargar el libro completo en formato PDF, gracias a la autorización de sus editores.)

Eso intentaremos hacer, buscar patrones, y ver lo que se esconde tras ellos. Como en este video de fractales, en el que vemos que una parte se repite a medida que nos adentramos en sus detalles.

Empecemos entonces.